薦：紅師教育軍隊(duì)文職人員招錄考試輔導(dǎo)教材·專(zhuān)業(yè)科目《數(shù)學(xué)2+物理》
軍隊(duì)文職考試中，排列組合是考察頻率較高但卻令很多小伙伴頭疼的題型，尤其是一些需要分類(lèi)討論的題目，稍有不慎就會(huì)漏掉一些情況。今天，紅師教育帶領(lǐng)大家一起，學(xué)習(xí)一下間接法，從另外一個(gè)角度來(lái)討論需要分類(lèi)較多的排列組合。
知識(shí)點(diǎn)撥
需要分類(lèi)討論的排列組合題目，無(wú)論分多少類(lèi)，終究是有限的，只是出題人往往要求我們討論分類(lèi)較多的情況。但是反過(guò)來(lái)想想，如果求的結(jié)果是分類(lèi)較多的部分，那么剩余的部分，分類(lèi)就較少了，我們可以用整體數(shù)減去剩余部分(稱(chēng)為對(duì)立事件)，這樣就可以減少一些計(jì)算量。間接的方法，反而可能更快更“直接”得到答案。
例題展示
例題
由1-9組成一個(gè)3位數(shù)，3位數(shù)肯定有數(shù)字重復(fù)的組合有多少種?
A.220 B.255 C.280 D.225
本題考查排列組合，我們第一反應(yīng)通常把有數(shù)字重復(fù)的情況進(jìn)行分類(lèi)，本題需要分成四類(lèi)情況：
(1)百位、十位數(shù)字重復(fù)：先確定百位上的數(shù)字，從9個(gè)數(shù)中選一個(gè)，有9種情況，十位數(shù)與百位數(shù)相同，只需考慮個(gè)位的情況，個(gè)位和百位、十位數(shù)字不同，所以只能從剩下的8個(gè)數(shù)字中選一個(gè)，也就是8種情況，這是分步的過(guò)程，有9×8=72種情況。
(2)百位、個(gè)位數(shù)字重復(fù)：同(1)有9×8=72種情況。
(3)十位、個(gè)位數(shù)字重復(fù)：同(1)有9×8=72種情況。
(4)百位、十位、個(gè)位數(shù)字都重復(fù)：先確定百位，從9個(gè)數(shù)中選一個(gè)，有9種情況，此時(shí)十位、個(gè)位和百位相同，直接確定，所以一共有9種情況。
分類(lèi)相加，所以符合要求的數(shù)字組合一共有：72+72+72+9=225，答案為D。
雖然結(jié)果算出來(lái)了，但是考慮情況會(huì)比較多，況且這只是三位數(shù)，如果是四位數(shù)、五位數(shù)會(huì)更加麻煩。如果用間接法會(huì)如何呢?
題目要求的是三位數(shù)中，有數(shù)位上的數(shù)重復(fù)，分類(lèi)較多，對(duì)立事件為三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不重復(fù)，只有這一類(lèi)。我們可以先計(jì)算總的情況數(shù)，減去對(duì)立事件包含的情況數(shù)。
總的情況數(shù)：百位、十位、個(gè)位均有9種可能，分步相乘，共9×9×9=729種。
對(duì)立事件包含的情況數(shù)：一共有3個(gè)數(shù)位，9個(gè)數(shù)字可以選擇，每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字各不相同，故有
729-504=225種，故本題選D。
練習(xí)提升
例1
某交警大隊(duì)的16名民警中，男性為10人?，F(xiàn)要選4人進(jìn)行夜間巡邏工作，要求男性民警不得少于2人，問(wèn)：有多少種選人方法?
A.1605 B.1520 C.1071 D.930
【紅師解析】A。男性民警為10人，則女性民警有6人。有不少于字眼，考慮對(duì)立面，男性民警少于2人，即沒(méi)有男性民警或只有1名男性民警，則本題所求為
故本題選A。
例2
三行三列間距相等共有九盞燈，任意亮起其中的三盞組成一個(gè)三角形，持續(xù)5秒鐘后換另一個(gè)三角形。那么如此持續(xù)亮，亮完所有的三角形組合至少需要多少秒?
A.380 B.390 C.410 D.420
【紅師解析】A。要求亮完所有的三角形組合的時(shí)間，則需要先求出所有三角形組合的數(shù)量。若直接討論三角形種類(lèi)，情況較多，使用間接法，一共9個(gè)點(diǎn)，任取其中三個(gè)點(diǎn)，
考慮到在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，需要減去8，即三條橫線，三條豎線，兩條對(duì)角線。故共有84-8=76個(gè)不同的三角形，亮完至少需要76×5=380秒。
小結(jié)
間接法可以減少計(jì)算量，那我們什么時(shí)候可以應(yīng)用這個(gè)方法呢?紅師教育也幫大家總結(jié)了一些特征：①題目分類(lèi)較多時(shí);②題干中出現(xiàn)至多、至少等字眼時(shí)。
希望大家以后遇見(jiàn)此類(lèi)題目，不要輕易放棄，嘗試去做一做，也歡迎大家來(lái)紅師課堂，學(xué)習(xí)更多解題方法。
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