一、同余系
整數(shù)a除以整數(shù)b，得到正余數(shù)為c,c kb(k為自然數(shù))均為a除以b的余數(shù)。屬同余系。例：-2,1,4,7都屬于16 3的余數(shù)。
二、同余特性
性質(zhì)一：余數(shù)的和決定和的余數(shù) 例：13 4 1，21 4 1，余數(shù)的和為2，和為13+21=34，34 4 2，所以說余數(shù)的和決定和的余數(shù)。
性質(zhì)二：余數(shù)的差決定差的余數(shù) 例：15 4 3，22 4 2，余數(shù)的差為-1，差為22-15=7，7 4 3(相當(dāng)于余-1)，所以說余數(shù)的差決定差的余數(shù)。
性質(zhì)三：余數(shù)的積決定積的余數(shù) 例：30 4 2，18 4 2，余數(shù)的積為4，積為30 18=540，540 4 0，余數(shù)為0，余數(shù)的積為4，4 4 0，所以說余數(shù)的積決定積的余數(shù)，而不是等于。
性質(zhì)四：余數(shù)的冪決定冪的余數(shù) 例：53 3=125 3 2，5 3余數(shù)為2，余數(shù)的冪為23=8，8 3 2，所以余數(shù)的冪決定冪的余數(shù)。 三、同余特性解不定方程 例1：x+3y=100，x、y皆為整數(shù)，則x是多少? A.41 B.42 C.43 D.44
【解析】C。3y能被3整除，100 3 1，根據(jù)余數(shù)的和決定和的余數(shù)得x除以3余數(shù)為1，所以選擇C。
例題2：7a+8b=111，已知a，b為正整數(shù)，且a b，則a-b=? A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】B。8b除以8余0 ,而111 8除以8余7，利用同余特性余數(shù)的和決定和的余數(shù)， 7a 8余數(shù)為7，再利用余數(shù)的積決定積的余數(shù)，得到a 8余1。正整數(shù)范圍內(nèi)第一個 8余數(shù)為1的數(shù)，而題干要求a大于b，而1是最小的正整數(shù)，因此a不能等于1 ,下一個 8余1的數(shù)為9，此時b=6，恰好滿足a-b都為正整數(shù)，且a大于b ,因此a-b等于3 ,結(jié)合選項，選擇B。 另解：7a 3余a,8b 3余-b，所以(7a+8b) 3余數(shù)為a-b，111 3余數(shù)為0,同余3，所以選B。
