一、同余系
整數a除以整數b，得到正余數為c,c kb(k為自然數)均為a除以b的余數。屬同余系。例：-2,1,4,7都屬于16 3的余數。
二、同余特性
性質一：余數的和決定和的余數 例：13 4 1，21 4 1，余數的和為2，和為13+21=34，34 4 2，所以說余數的和決定和的余數。
性質二：余數的差決定差的余數 例：15 4 3，22 4 2，余數的差為-1，差為22-15=7，7 4 3(相當于余-1)，所以說余數的差決定差的余數。
性質三：余數的積決定積的余數 例：30 4 2，18 4 2，余數的積為4，積為30 18=540，540 4 0，余數為0，余數的積為4，4 4 0，所以說余數的積決定積的余數，而不是等于。
性質四：余數的冪決定冪的余數 例：53 3=125 3 2，5 3余數為2，余數的冪為23=8，8 3 2，所以余數的冪決定冪的余數。 三、同余特性解不定方程 例1：x+3y=100，x、y皆為整數，則x是多少? A.41 B.42 C.43 D.44
【解析】C。3y能被3整除，100 3 1，根據余數的和決定和的余數得x除以3余數為1，所以選擇C。
例題2：7a+8b=111，已知a，b為正整數，且a b，則a-b=? A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】B。8b除以8余0 ,而111 8除以8余7，利用同余特性余數的和決定和的余數， 7a 8余數為7，再利用余數的積決定積的余數，得到a 8余1。正整數范圍內第一個 8余數為1的數，而題干要求a大于b，而1是最小的正整數，因此a不能等于1 ,下一個 8余1的數為9，此時b=6，恰好滿足a-b都為正整數，且a大于b ,因此a-b等于3 ,結合選項，選擇B。 另解：7a 3余a,8b 3余-b，所以(7a+8b) 3余數為a-b，111 3余數為0,同余3，所以選B。
