本質(zhì):相同元素的不同分堆。公式:把 n 個(gè)相同元素分給 m 個(gè)不同的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象至少 1 個(gè)元素，問(wèn)有多少種不同分法的問(wèn)題可以采用 隔板法 ，共有C n-1 m-1 種。 條件:這類(lèi)問(wèn)題模型適用前提相當(dāng)嚴(yán)格，必須同時(shí)滿(mǎn)足以下 3 個(gè)條件：
(1)所要分的元素必須完全相同;(2)所要分的元素必須分完，決不允許有剩余;(3)每個(gè)對(duì)象至少分到 1 個(gè)，決不允許出現(xiàn)分不到元素的對(duì)象。
例題展示：如10 個(gè)相同的小球，放入 4 個(gè)不同的盒子里面，每個(gè)盒子至少要放一個(gè)球。問(wèn)有幾種放法?10個(gè)球中間有9個(gè)空放入3個(gè)隔板(隔板是相同而不可以區(qū)分的)，那么就可以分成4堆了，故要求的方法數(shù)就是C93種。 以下通過(guò)兩個(gè)例題來(lái)展示隔板模型的兩個(gè)變形，如何進(jìn)行公式的套用。
【變形1】n 個(gè)相同元素分成 m 份，每份至少多個(gè)元素。 將 8 個(gè)完全相同的球放到 3 個(gè)編號(hào)分別為 1、2、3 的盒子中，要求每個(gè)盒子中放的球數(shù)不少于自身的編號(hào)，則一共有多少種方法?
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C
【解析】此題中沒(méi)有要求每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球，而都是至少多個(gè)的，因此首先需要做的是轉(zhuǎn)化成把 n 個(gè)相同元素分成 m 份，每份至少 1 個(gè)元素，問(wèn)有多少種不同分法的問(wèn)題。故分兩步進(jìn)行，第一步先給 2 號(hào)盒子 1 個(gè)球，3 號(hào)盒子 2 個(gè)球，因?yàn)榍蛞粯樱式o法只有1種;第二步，此時(shí)剩下 5 個(gè)球，只需要 每個(gè)盒子至少放一個(gè)球 即可，應(yīng)用隔板法，方法數(shù)為C42 =6，則總的個(gè)數(shù)為1 6=6種。
【變形2】n 個(gè)相同元素分成 m 份，隨意分。 王老師要將20個(gè)一模一樣的筆記本分給3個(gè)不同的學(xué)生， 允許有學(xué)生沒(méi)有拿到， 但必須放完，有多少種不同的方法? A.190 B.231 C.680 D.1140
【答案】B。
【解析】這道題中說(shuō)每個(gè)盒子可以為空，即至少0個(gè)，不能直接用隔板法來(lái)做，因此首先需要做的是轉(zhuǎn)化成把 n 個(gè)相同元素分成 m 份，每份至少 1 個(gè)元素，問(wèn)有多少種不同分法的問(wèn)題。故分兩步進(jìn)行，第一步先每個(gè)人借3個(gè)相同的本子，因?yàn)榍蛞粯?，故給法只有1種;第二步，即此題變?yōu)閷?23 個(gè)相同的書(shū)全放入 3 個(gè)人，每個(gè)人至少一個(gè)球，此時(shí)就可以用隔板法了，則有C222=231 種，則總的個(gè)數(shù)為1 231=231種。
