解放軍文職招聘考試北宋時期的數(shù)學成就-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:27:33北宋時期的數(shù)學成就一、賈憲的增乘開方法賈憲生活于11世紀，是天算家楚衍的學生．楚衍有兩名弟子，一名朱吉，后任太史；另一名便是賈憲，在朝中任左班殿值．賈憲對《九章算術》深有研究，曾著《黃帝九章算經(jīng)細草》，還著有《釋鎖》算書，均佚．但兩書的部分內(nèi)容，保存在楊輝《詳解九章算法》中．《詳解九章算法 纂類》所載的賈憲增乘開方法，是中算史上第一個完整的、可推廣到任意次方的開方程序(原載《黃帝九章算經(jīng)細草》)．例如 令有積一百八十六萬八百六十七尺，問為立方幾何？ 此題相當于求方程x3 ＝1860867的正根．按賈憲方法(參見圖8．1)：(1)實上商置第一位得數(shù)．(2)以上商乘下法置廉，乘廉為方，除實訖．(3)復以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(4)其方一、廉二、下三退．(5)再于第一位商數(shù)之次，復商第二位得數(shù)，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除實訖．(6)復以次商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入廉．(7)其方一、廉二、下三退，如前．(8)上商第三位得數(shù)，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除實適盡，得立方一面之數(shù)．很明顯，求得方根第一位后，求下面每一位的步驟都相同，(3)(4)(5)是求第二位的步驟，(6)(7)(8)是求第三位的步驟，依此類推．如果是開平方，則開方式無廉；如果是開四次方或四次雙方以上，則在方和下法間加廉，稱一廉、二廉 ，開方步驟與開立方一致．在增乘開方法基礎上，賈憲創(chuàng)造了 開方作法本源圖 (原載《釋鎖》，存于楊輝《詳解九章算法》)即賈憲三角形(圖8．2)，實際是世界上最早的二項式定理系數(shù)表．雖然該表到六次方止(末行為(a＋b)6的系數(shù))，但表中數(shù)字是有規(guī)律的，每個數(shù)都是它肩上兩數(shù)之和，可按此規(guī)律向下無限延伸(朱世杰便推廣到八次方，即增加兩行)．所以它是一般性的．二、劉益的正負開方術劉益是中山(今河北定縣)人，生活年代可能比賈憲稍晚．著有《議古根源》，已失傳．該書的部分內(nèi)容保存在楊輝《田畝比類乘除捷法》里．從中可以看出，劉益把增乘開方法推廣為正負開方術．賈憲的方程都是xn＝B的特殊形式(其中n不大于4，B為正有理數(shù))，劉益則研究了一般的高次方程，如-5x4＋52x3＋128x2＝4096．在劉益的方程中，未知數(shù)系數(shù)可正可負，故曰 正負開方術 ．例如要求方程-5x2+228x＝2592的正根，先擺算式如圖8．3(1)，然后把方和隅向左移動，方每步移一位，隅每步移二位，本題只須各移一步．開方過程如p241圖8．3(開方式下面為相應的演草)．劉益的正負開方術是可以推廣到任意次方程的，所以說他的工作奠定了高次方程數(shù)值解法的基礎．不過，劉益的思想也有局限性，他求解的方程的常數(shù)項僅限于正數(shù)，這一點同賈憲一樣．這種限制，直到李冶時代才取消．三、沈括的數(shù)學成就沈括(1030---1094)，北宋科學家，字存中，號夢溪，錢塘(今杭州)人．進士及第后，初任館閣?？?，后任太子中允，提舉司天監(jiān)．王安石變法期間，沈括曾任 權三司使 (主管財政)、 判軍器監(jiān) 等要職，時常出京察訪各地的新政實施情況，積極參與變法運動．沈括一生論著極多，據(jù)《宋史 藝文志》所錄有22種155卷，流傳至今的有5種64卷．其中《夢溪筆談》(26卷)是沈括晚年定居鎮(zhèn)江時，將一生見聞及研究心得以筆記形式寫成的著作．書中的科學內(nèi)容相當豐富，被著名科學史家李約瑟(J．Needham，1900---1995)譽為 中國科學史的里程碑 ．沈括在討論數(shù)學起源時說： 大凡物有定形，形有真數(shù)．方圓端斜，定形也；乘除相 ，無所附益，泯然冥會者，真數(shù)也． 這就是說，數(shù)學來源于客觀存在的形和數(shù)，形是物體的特有形狀而數(shù)是從形中抽象出來并能反映形的 真數(shù) ．那么，數(shù)是怎樣被人認識的呢？沈括認為首先要靠實踐： 予占天候景，以至驗于儀象，考數(shù)下漏，凡十余年，方粗見真數(shù)． 但只有實踐還不行，沈括說： 耳目能受而不能擇，擇之者心也． 意思是人們通過感官來接受客觀世界的信息，但不能靠感官去辨別，必須依靠思維，才能由此及彼，由表及里，形成對數(shù)學的理性認識．這些看法是很精辟的．沈括的主要數(shù)學成就有兩項---會圓術和隙積術．會圓術所解決的是由弦求弧問題．如圖8．4，沈括得到以下公式(1)式顯然由勾股定理推出．至于(2)式，可能是在《九章算術》所載弓形面積公式的基礎上，憑借以直代曲的極限思想得出的．沈括的會圓術問世后，收到明顯的社會效益．著名的《授時歷》中，使用此術解決了一個重要的天文問題 太陽的赤道坐標與黃道坐標的變換．所謂隙積，即 積之有隙 者，如累棋、層壇之類，這種長方臺形狀的垛積，實際是二階等差級數(shù)．設隙積共n層，上底由a b個物體組成，以下各層的長、寬依次各增加一個物體，最下層(即下底)由c d個物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式如下：沈括的工作開了研究高階等差級數(shù)的先河．關于此式的由來，后人有各種推測，尚無定論．但有一點是肯定的：這一精確公式不可能從經(jīng)驗中歸納出來，一定是邏輯推理的結果．四、從條段法到天元術方程理論是宋元數(shù)學發(fā)展的主流．列方程的重要方法---天元術，便產(chǎn)生于北宋，而其淵源則為條段法．條段法亦稱演段法，是推導方程的幾何方法．劉益《議古根源》通過平面圖形的分割拼補尋找等量關系，求得方程各項系數(shù)．因推演中常將各量表示成一段段條形面積，故名．北宋數(shù)學家蔣周亦用條段法推導方程．蔣周，平陽(今山西臨汾)人，生活于11世紀．著有《益古集》，已失傳，書中部分內(nèi)容存于李冶《益古演段》．從書中題目來看，蔣周的方法比劉益更接近天元術，因為他懂得尋找含有所求量的等值多項式，然后把兩個多項式連為方程．例如第33題(按《益古演段》順序)： 今有圓田一段，中心有直池水占之，外計地七千三百步．只云并內(nèi)池長闊，少田徑五十五步，闊不及長三十五步．問三事(指池長、池闊、圓徑)各多少？ (圖8．5)令圓徑為d，直池長a闊b，圓積S1，3d2－4 7300＝4S． (1)這便得到一個等于4S的多項式，下面再設法得到等于4S的另一多項式．因為d－55＝a＋b，所以(d－55)2＝(a＋b)2=4ab＋(a-b)2＝4S＋352，即 (d-55)2-352＝4S． (2)把兩個等于4S的多項式連起來，便得方程3d2-4 7300＝(d-55)2-352．(1)式和(2)式中的4S并非所求，蔣周只是通過它得到兩個等值多項式，在建立方程時便把它們消掉了．這種思想是天元術中不可缺少的．但條段法有著明顯的局限性．首先，由于沒有設未知數(shù)的步驟，不是把未知數(shù)用統(tǒng)一符號表示出來，再尋找它和已知量的關系，而是在解題過程中去找含有所求量的等式，這便增加了思維的復雜性．其次，條段法只能列出二次方程，因為高于二次的方程很難用面積來表示．數(shù)學的發(fā)展迫切需要一種簡便的、能建立高次方程的一般方法，天元術便應運而生了．天元術是一種列方程的代數(shù)方法，因稱未知數(shù)為天元，故名．從現(xiàn)存古算書分析，洞淵無疑是天元術的先驅者之一．洞淵生活于11世紀，所著算書早已亡佚．但李冶《測圓海鏡》中保存了洞淵九容公式，即九種求勾股容圓直徑的方法．洞淵的天元術便以這些公式為出發(fā)點．《測圓海鏡》保存了洞淵的兩道算題，即卷十一第十七題和第十八題．這兩題所得均為四次方程，不僅次數(shù)高于蔣周的方程，更重要的是有了 立天元一 (即設未知數(shù)x)的明確步驟．把各種各樣的未知數(shù)用統(tǒng)一符號表示，讓它像已知量一樣參與運算，這是數(shù)學思想上的突破．在第十七題中，洞淵得到后，便把各項中x的冪提高兩次，成為-4x4 -600x3 -22500x2+11681280x+788486400=0．這說明他已懂得用分母中未知數(shù)的最高次冪去乘分式方程各項，從而化分式方程為整式方程．在洞淵的方程中，x的冪具有純代數(shù)意義，而不再拘泥于它的幾何解釋．這正是天元術高于條段法之處，也是方程向高次發(fā)展的基礎．
解放軍文職招聘考試中國現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 20:27:55中國現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展中國傳統(tǒng)數(shù)學在宋元時期達到高峰，以后漸走下坡路．20世紀重登世界數(shù)學舞臺的中國現(xiàn)代數(shù)學，主要是在西方數(shù)學影響下進行的．西方數(shù)學比較完整地傳入中國，當以徐光啟(1562 1633)和利瑪竇(Mattao Ricci， 1552 1610)翻譯出版《幾何原本》前六卷為肇始，時在1607年．清朝初年的康熙帝玄燁(1654 1722)，曾相當重視數(shù)學，邀請西方傳教士進宮講解幾何學、測量術和歷法，但只是曇花一現(xiàn)．鴉片戰(zhàn)爭之后，中國門戶洞開，再次大規(guī)模吸收西方數(shù)學，其主要代表人物是李善蘭(1811 1882)．他熟悉中國古代算學，又善于汲取西方數(shù)學的思想．1859年，李善蘭和英國教士偉烈亞力(Alexander Wylie，1815 1887)合譯美國數(shù)學家魯米斯(Elias Loomis， 1811 1889)所著的《代微積拾級》(Elements of AnalyticalGeometry and of the Differenfial and Integral Calculus)，使微積分學思想首次在中國傳播，并影響日本．李善蘭在組合數(shù)學方面很有成就．著稱于世的有李善蘭恒等式：1866年，北京同文館增設天文算學館，聘李善蘭為第一位數(shù)學教習．由于清廷政治腐敗，數(shù)學發(fā)展十分緩慢．反觀日本，則是后來居上．日本在1870年代還向中國學習算學，《代微積拾級》是當時日本所能找到的最好的微積分著作．但到1894年的甲午戰(zhàn)爭之后，中日數(shù)學實力發(fā)生逆轉． 1898年，中國向日本大量派遣留學生，其中也包括數(shù)學方面的留學生．1911年辛亥革命之前，有三位留學國外的數(shù)學家最負盛名．第一位是馮祖荀(1880 1940)，浙江杭縣人．1904年去日本京都第一高等學校就讀，然后升入京都帝國大學研修數(shù)學．回國后曾在北京大學長期擔任數(shù)學系系主任．第二位是秦汾(1887 1971)，江蘇嘉定人．1907年和1909年在哈佛大學獲學士和碩士學位．回國后寫過許多數(shù)學教材．擔任北京大學理科學長及東南大學校長之后，棄學從政，任過財政部次長等．鄭桐蓀(1887 1963)在美國康奈爾大學獲學士學位(1907)，以后在創(chuàng)建清華大學數(shù)學系時頗有貢獻．由于1908年美國退回部分庚子賠款，用于青年學生到美國學習．因此，中國最早的數(shù)學博士多在美國獲得．胡明復(1891 1927)于1917年以論文 具邊界條件的線性微積分方程 (Lin-ear Integro-Differential Equations with BoundaryCondition)，在哈佛大學獲博士學位，是中國以現(xiàn)代數(shù)學研究獲博士學位的第一人．他返國后辦大同大學，參與《科學》雜志的編輯，很有聲望，惜因溺水早逝．1918年，姜立夫(1890 1978)亦在哈佛大學獲博士學位，專長幾何．他回國后辦南開大學，人才輩出，如陳省身、江澤涵、吳大任等，姜立夫是中國現(xiàn)代數(shù)學的先驅，曾任中央研究院數(shù)學研究所首任所長．本世紀20年代，中國各地的大學紛紛創(chuàng)辦數(shù)學系．自國外留學回來的數(shù)學家擔任教授，開始培養(yǎng)中國自己的現(xiàn)代數(shù)學人才．其中比較著名的有熊慶來(1893 1969)，1913年赴法國學采礦，后改攻數(shù)學．1921年回國后在東南大學、清華大學等校任數(shù)學教授，聲譽卓著．1931年再度去法國留學，獲博士學位(1933)，以研究無窮級整函數(shù)與亞純函數(shù)而聞名于世．陳建功(1893 1971)和蘇步青(1902一)先后畢業(yè)于日本東北帝國大學數(shù)學系．他們分別于1930年和1931年回國，在浙江大學擔任數(shù)學教授．由于銳意進取，培植青年，使浙江大學成為我國南方最重要的數(shù)學中心．陳建功以研究三角函數(shù)論、單葉函數(shù)論及函數(shù)逼近論著稱．他在1928年發(fā)表的《關于具有絕對收斂傅里葉級數(shù)的函數(shù)類》，指出：有絕對收斂三角級數(shù)的函數(shù)的充要條件是楊(Young)氏函數(shù)，此結果與英國數(shù)學大家哈代(G．H．Hardy)和李特爾伍德(J． E． Littlewood)同時得到．這可以標志中國數(shù)學研究的論文已能達到國際水平．蘇步青以研究射影微分幾何而著稱于世．他的一系列著作《射影曲線概論》，《一般空間微分幾何》、《射影曲面概論》等，在國內(nèi)外都產(chǎn)生相當影響，曾被稱為中國的微分幾何學派．1952年，他們從浙江大學轉到上海復旦大學，使復旦大學數(shù)學系成為中國現(xiàn)代數(shù)學的重要基地．1930年前后，清華大學數(shù)學系居于中國數(shù)學發(fā)展的中心地位．系主任是熊慶來，鄭桐蓀是資深教授．另外兩位教授都在1928年畢業(yè)于美國芝加哥大學數(shù)學系，獲博士學位．其中孫光遠(1897 1984)專長微分幾何，他招收了中國的第一名數(shù)學碩士生(陳省身)，楊武之(1898 1975)則專長代數(shù)和數(shù)論，以研究華林(Waring)問題著稱．這時的清華，有兩個杰出的青年學者，這就是來自南開大學的陳省身和自學成才的華羅庚．陳身省于1911年生于浙江嘉興．1926年入南開大學，1930年畢業(yè)后轉到清華，翌年成為孫光遠的研究生，專習微分幾何．1934年去漢堡大學，在布拉士開(W．Bla-schke)指導下獲博士學位(1936)，旋去巴黎，在嘉當(E．Cartan)處進行訪問，得其精華．1937年回國后在西南聯(lián)大任教．抗日戰(zhàn)爭時期，受外爾(H．Weyl)之邀到美國普林斯頓高等研究院從事研究，以解決高維的高斯 邦內(nèi)(Gauss Bonnet)公式，提出后來被稱為 陳省身類 的重要不變量，為整體微分幾何奠定基礎，其影響遍及整個數(shù)學．抗日戰(zhàn)爭結束后返國，任中央研究院數(shù)學研究所代理所長，培植青年數(shù)學家．1949年去美國．1983年獲世界5高數(shù)學獎之一的沃爾夫獎(WilfPrize)．華羅庚(1910 1985)是傳奇式的數(shù)學家．他自學成才，1929年他只是江蘇金壇中學的一名職員，卻發(fā)表了《蘇家駒之代數(shù)的五次方程解法不能成立之理由》，此文引起清華大學數(shù)學教授們的注意，系主任熊慶來遂聘他到清華任數(shù)學系的文書，華羅庚最初隨楊武之學習數(shù)論，在華林問題上很快作出了成果，破例被聘為教員．1936年去英國劍橋大學，接受哈代的指導．抗日戰(zhàn)爭時期，華羅庚寫成《堆壘素數(shù)論》，系統(tǒng)地總結、發(fā)展與改進了哈代與李特爾伍德的圓法，維諾格拉多夫(И．М．Виноградов)的三角和估計方法，以及他本人的方法．發(fā)表至今已40年，主要結果仍居世界領先地位，仍是一部世界數(shù)學名著．戰(zhàn)后曾去美國．1950年返回中國，擔任中國科學院數(shù)學研究所的所長．他在數(shù)論，代數(shù)，矩陣幾何，多復變函數(shù)論以及普及數(shù)學上的成就，使他成為世界級的著名數(shù)學家．他的名字在中國更是家喻戶曉，成為 聰敏 、 勤奮 的同義語．三十年代初的清華大學，匯集了許多優(yōu)秀的青年學者．在數(shù)學系先后就讀的有柯召(1910 )，許寶騄(1910 1970)，段學復(1914 )，徐賢修(1911 )，以及物理系畢業(yè)、研究應用數(shù)學的林家翹(1916 )等等，后來均成為中國數(shù)學的中堅以及世界著名數(shù)學家．許寶騄是中國早期從事數(shù)理統(tǒng)計和概率論研究，并達到世界先進水平的一位杰出學者．1938 1945年間，他在多元分析與統(tǒng)計推斷方面發(fā)表了一系列論文，以出色的矩陣變換技巧，推進了矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計中的應用，他對高斯 馬爾可夫模型中方差的最優(yōu)估計的研究，是許多研究工作的出發(fā)點．50年代以來，為培養(yǎng)新中國的數(shù)理統(tǒng)計學者和開展概率統(tǒng)計研究作出許多貢獻．林家翹是應用數(shù)學家，清華大學畢業(yè)后去加拿大，美國留學．從師流體力學大師馮 卡門(von Karman)．1944年，他成功地解決了爭論多年的平行平板間的流動穩(wěn)定性問題，發(fā)展了微分方程漸近理論的研究．60年代開始，研究螺旋星系的密度波理論，解釋了許多天文現(xiàn)象．北京大學是我國的最高學府．20年代軍閥混戰(zhàn)時期，因經(jīng)費嚴重不足，學術水平不及由美國退回庚款資助的清華大學數(shù)學系．進入30年代，以美國退回庚款為基礎的中華文化教育基金會也撥款資助北京大學，更由于江澤涵(1902 )在哈佛大學獲博士學位后加盟北大，程毓淮(1910 )獲德國哥廷根大學博士學位后來北大任教，陣容漸強．學生中有后來成名的樊畿(1916 )，王湘浩(1915 1993)等．三十年代的中國青年數(shù)學家還有曾炯之(1897 1943)，他在哥廷根大學跟隨杰出的女數(shù)學家諾特(E．Noether)研究代數(shù)，1933年完成關于 函數(shù)域上可除代數(shù) 的兩個基本定理，后又建立了擬代數(shù)封閉域層次論，蜚聲中外．抗日戰(zhàn)爭時期因貧病在西昌去世．周煒良(1911 )為清末民初數(shù)學家周達之子，家庭富有，在美國芝加哥大學畢業(yè)后，轉到德國萊比錫大學，在范 德 瓦爾登(Van der Waerden)指導下研究代數(shù)幾何，于1936年獲博士學位，一系列以他名字命名的 周坐標 周形式 、 周定理 周引理 ，使他享有盛譽．抗日戰(zhàn)爭勝利后去美國約翰 霍普金斯大學任教，直至退休．1935年，中國數(shù)學會在上海成立．公推胡敦復(1886 1978)為首屆董事會主席．會上議決出版兩種雜志．一種是發(fā)表學術論文的《中國數(shù)學會學報》，后來發(fā)展成今日的《數(shù)學學報》，一種是普及性的《數(shù)學雜志》，相當于今之《數(shù)學通報》．中國數(shù)學會的成立，標志中國現(xiàn)代數(shù)學已經(jīng)建立，并將很快走向成熟．最早訪問中國的著名數(shù)學家是羅素(B．A．W．Russel)，他于1920年8月到達上海，在全國各地講演數(shù)理邏輯，由趙元任做翻譯，于次年7月離去．法國數(shù)學家班勒衛(wèi)(P．Painleve)和波萊爾(E．Bovel)也在20年代未以政治家身份訪華．1932年，德國幾何學家布拉希開(W．Blaschk)到北京大學講學，陳省身、吳大任等受益很多．1932 1934年間，漢堡大學年輕的拓撲學家斯披涅兒(E．Sperner)也在北京大學講課．1934年4月，美國著名的常微分方程和動力系統(tǒng)專家伯克霍夫(G.D.Birkhoff)也到過北大．此后來華的是美國哈佛大學教授奧斯古德(W．F．Osgood)，他在北京大學講授函數(shù)論(1932 1934)．控制論創(chuàng)始人，美國數(shù)學家維納(N．Wiener)來清華大學電機系訪問，與李郁榮(1904 )合作研究電網(wǎng)絡，同時在數(shù)學系講授傅里葉變換理論等．維納于1936年去挪威奧斯陸參加國際數(shù)學家大會，注明他是清華大學的代表．抗日戰(zhàn)爭開始之后，中國現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展進入一個新時期．一方面是異常清苦的戰(zhàn)時生活，與外界隔絕的學術環(huán)境；另一方面則是無比高漲的研究熱情，碩果累累的科學成就．在西南聯(lián)合大學(北大、清華、南開)的數(shù)學系，姜立夫、楊武之、江澤涵等領導人正值中年，而剛滿30歲的年輕教授如華羅庚、陳省身以及許寶騄等，都已達到當時世界的先進水平．例如華羅庚的《堆壘素數(shù)論》，陳省身證明高斯 邦內(nèi)公式，許寶騄發(fā)展矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計的應用，都產(chǎn)生于這一時期．他們培養(yǎng)的學生，如王憲鐘、嚴志達、吳光磊、王浩、鐘開萊，日后都成為著名數(shù)學家．與此同時，位于貴州湄潭的浙江大學，也由陳建功、蘇步青帶領，造就出程民德、熊全治、白正國、楊忠道等一代數(shù)學學者．如果說，在20年代，中國創(chuàng)辦的大學已能培養(yǎng)自己的數(shù)學學士，那么在30年代的北大、清華、浙大等名校，已能培養(yǎng)自己的數(shù)學碩士，而到抗日戰(zhàn)爭時期的40年代，從教員的學術水準，開設的課程以及學生的成績來看，應該說完全能培養(yǎng)自己的數(shù)學博士了．從1917年中國人第一次獲得數(shù)學博士，到實際上具備培養(yǎng)自己的數(shù)學博士的水平，前后不過20余年的時間，發(fā)展不可謂不快．1944年，中央研究院決定成立數(shù)學研究所，由姜立夫任籌備主任．不久，抗日戰(zhàn)爭勝利，于1946年在上海正式成立數(shù)學研究所，由姜立夫任所長．因姜立夫出國考察，遂由陳省身代理所長．陳省身辦所的宗旨是培養(yǎng)青年人，首先讓他們研修拓撲學，以便迅速達到當時數(shù)學發(fā)展的前沿．這時在所內(nèi)工作的研究人員中，有王憲鐘、胡世楨、李華宗等已獲博士學位的年輕數(shù)學家，更有吳文俊、廖山濤、陳國才、楊忠道、葉彥謙、曹錫華、張素誠、孫以豐、路見可、陳杰等剛從大學畢業(yè)不久的學生．1949年成立中華人民共和國之后，中國現(xiàn)代數(shù)學有了長足的發(fā)展．原來已有建樹的解析數(shù)論、三角級數(shù)論、射影微分幾何等學科繼續(xù)發(fā)展．在全面學習蘇聯(lián)的50年代，與國民經(jīng)濟發(fā)展有密切關系的微分方程、概率論、計算數(shù)學等學科獲得應有的重視，使整個數(shù)學獲得全面和均衡地進步．高等學校數(shù)學系大規(guī)模招生，嚴謹?shù)慕虒W方式培養(yǎng)出大批訓練有素的數(shù)學工作者．在這一時期內(nèi)，作出重要貢獻的有吳文俊(1919 )．他于1940年在交通大學畢業(yè)，后去法國留學，獲博士學位．他在拓撲學方面的主要貢獻有關于施蒂費爾 惠特尼(Stiefel-Whit-ney)示性類的吳(文俊)公式，吳(文俊)示性類，以及關于示嵌類的研究．70年代起，吳文俊提出了使數(shù)學機械化的綱領，其一個自然的應用是定理的機器證明，這項工作現(xiàn)在正處于急劇發(fā)展中．吳文俊的數(shù)學機械化思想來源于中國傳統(tǒng)數(shù)學．因此，吳文俊的工作顯示出中國古算法與現(xiàn)代數(shù)學的有機結合，具有濃烈的中國特色．50年代以來的一些青年數(shù)學家的工作值得注意，如陳景潤、王元、潘承洞在數(shù)論方面的研究，特別是對哥德巴赫猜想的重大推進．楊樂、張廣厚關于亞純函數(shù)值分布論的研究，谷超豪在微分幾何與非線性偏微分方程方面的研究，夏道行關于線性算子譜論和無限維空間上調和分析的研究，陸啟鏗、鐘家慶在多復變函數(shù)論與微分幾何方面的研究，都有國際水平的成果．80年代以來，還有姜伯駒(不動點理論)、張恭慶(臨界點理論)、陸家羲(斯坦納三元素)等人的工作，十分優(yōu)秀．廖山濤在微分動力系統(tǒng)研究上作出了獨特的貢獻．中國數(shù)學家參加國際數(shù)學家大會(International Cong-ress of Mathematics)始自1932年．北京數(shù)學物理學會的熊慶來和上海交通大學的許國保作為中國代表參加了那年在蘇黎世舉行的會議．中山大學的劉俊賢則是參加1936年奧斯陸會議的唯一中國代表(不計算維納代表清華大學與會)．此后由于代表權問題，中國大陸一直未派人與會．華羅庚、陳景潤收到過到大會作報告的邀請．1983年，中國科學院計算數(shù)學家馮康被邀在華沙大會上作45分鐘的報告，都因代表權問題未能出席．1986年，中國在國際數(shù)學家聯(lián)盟(IMU)的代表權問題得到解決：中國數(shù)學會有三票投票權，位于中國臺北的數(shù)學會有兩票投票權．這年在美國加州伯克萊舉行的大會上，吳文俊作了45鐘報告(關于中國數(shù)學史)．1990年在東京舉行國際數(shù)學家大會，中國有65名代表與會(不包括臺北)．80年代以來，中國數(shù)學研究發(fā)展很快．從原來的中國科學院數(shù)學研究所又分立出應用數(shù)學研究所和系統(tǒng)科學研究所．由陳省身擔任所長的南開數(shù)學研究所向全國開放，發(fā)揮了獨特的作用．北京大學、復旦大學等著名學府也成立了數(shù)學研究所．這些研究機構的數(shù)學研究成果正在逐漸接近國際水平．到1988年為止，在國外出版的中國數(shù)學家的數(shù)學著作已有43種．《數(shù)學年刊》《數(shù)學學報》都相繼出版了英文版，在國外的影響日增，1990年收入世界數(shù)學家名錄的中國學者有927名．先后在中國國內(nèi)設立的數(shù)學最高獎有陳省身獎和華羅庚獎．1990年起，為了支持數(shù)學家率先趕上世界先進水平的共同愿望，除了正常的自然科學基金項目之外，又增設了專項的天元數(shù)學基金．這一措施也大大促進了數(shù)學研究水平的提高．在中國的臺灣省，中央研究院的數(shù)學研究所是主要的數(shù)學研究機構，曾由周鴻經(jīng)、樊畿等多人主持過．臺灣大學集中了許多著名的數(shù)學教授．早期有施拱星、許振榮等．臺灣學生在美國獲博士學位并在美國各大學數(shù)學系任教的學者很多，有較大影響的有項武忠、項武義等人．香港地區(qū)的數(shù)學教育在第二次世界大戰(zhàn)之前沒有多少力量．戰(zhàn)后最有影響的是幾何學家黃用諏，他從1948年起任香港大學教授，又擔任過教務長和副校長．從香港大學和中文大學培養(yǎng)出一批有世界影響的數(shù)學家，其中包括榮獲菲爾茲獎的丘成桐，以及肖蔭堂、陳紹遠等著名數(shù)學家．
解放軍文職招聘考試阿基米德對數(shù)學發(fā)展的貢獻-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:12:47阿基米德對數(shù)學發(fā)展的貢獻阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)是數(shù)學歷史上最偉大的數(shù)學家之一，近代數(shù)學史家貝爾(E．T．Bell，1883---1960)說： 任何一張列出有史以來三個最偉大的數(shù)學家的名單中，必定包括阿基米德，另外兩個通常是牛頓和高斯．不過以他們的豐功偉績和所處的時代背景來比，拿他們影響當代和后世的深邃久遠來比較，還應首推阿基米德． 阿基米德的名字在他同時代的人們中成為賢明的象征，他會用簡單的方法解最難的問題．古希臘著名的作家和歷史學家普魯塔克(Plutarch，公元前1世紀)說：把這樣困難的題目解決得如此簡單和明白，在數(shù)學里沒有聽到過，假如有誰嘗試一下自己解這些題目，他會什么也得不到．但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就會立刻得出這樣的印象，這個解法他自己也會找到．阿基米德用如此容易和簡明的方法把我們引向目的．阿基米德終生傾心對科學的研究，常常沉浸于忘我的思考之中，普魯塔克曾寫道：阿基米德廢寢忘食，完全忽視關心自己的身體．經(jīng)常要強迫他去洗澡，在洗澡中，擦上香油膏，然而就在這時，他用手指在自己擦上油膏的身體上畫幾何圖形．古羅馬建筑師維脫羅衛(wèi)(Vitruvius，公元前2世紀)記述的阿基米德發(fā)現(xiàn)浮體規(guī)律的情景，令人感嘆不已．有一次敘拉古的亥厄洛(Hieron)王讓人制造純金的皇冠．做成后國王懷疑是否完全用純金制成，便請素稱多能的阿基米德來鑒定．阿基米德曾長時間地思考解決的方法，正在苦悶之中，他到公共浴池洗澡，當浸入裝滿水的浴盆中時，水漫溢到盆外，而身體重量頓覺減輕．于是，他忽然想到不同質料的東西，雖然重量相同，但因體積不同，排去的水必不相等．根據(jù)這一道理，不僅可以判斷皇冠是否摻有雜質，而且知道偷去黃金的重量．這次成功的發(fā)現(xiàn)使阿基米德大吃一驚，他光著身子跑出浴池，大聲喊： 我找到了 ．經(jīng)過仔細地實驗，他終于發(fā)現(xiàn)了流體靜力學的基本原理： 阿基米德原理 ---物體在液體中減輕的重量，等于排去液體的重量．在阿基米德一生的最后幾年中，表現(xiàn)出了真摯的愛國熱情．他為祖國的安危獻出了自己全部力量和智慧．當羅馬軍隊首領馬塞拉斯率領大軍進攻敘拉古時，阿基米德發(fā)揮了自己的聰明才智，制造新的機械對抗羅馬當時先進的軍事設施．他制造了許多武器，做好在任何情況下?lián)敉藬橙说臏蕚洌魯橙穗x城市很遠，便用巨大的遠射程投射機器，發(fā)射大量的 重炮彈 和 火箭 ，擊敗敵人的戰(zhàn)船．當阿基米德發(fā)覺炮彈落得太遠，不能擊中船只時，便使用了適合較小距離的投射機器．這樣，使羅馬軍隊膽戰(zhàn)心驚，以致他們無力再向前推進．希臘文獻記載，當羅馬兵船靠近城下，阿基米德用巨大火鏡反射日光使兵船焚燒．另一種說法是他用投火器，將燃燒著的東西彈出去，燒毀敵人的戰(zhàn)船．總之，阿基米德竭盡全力，發(fā)明各種新式器械，給羅馬軍隊以沉重的打擊，為保衛(wèi)祖國作出了重大貢獻．后來，終因叛徒的出賣，敘拉古城失守了．一種說法是阿基米德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于數(shù)學的深思，埋頭畫幾何圖形．當一個羅馬士兵沖到他面前時，阿基米德嚴肅地說： 走開，不要動我的圖． 羅馬士兵聽了，覺得受到污辱，就拔劍刺死了阿基米德．終年75歲．根據(jù)阿基米德生前遺囑，在墓碑上刻著球內(nèi)切于圓柱的圖形，象征著他特別珍視的發(fā)明．阿基米德在數(shù)學中做出很多貢獻，他的許多著作的手稿一直保存到現(xiàn)在．一些數(shù)學史家都把他的原著譯成現(xiàn)代文字．例如，希思的英譯本，茲瓦利那的德譯本，維爾 埃斯克(P．Ver．Ee－cke)的法譯本，還有荷蘭的迪克特赫斯(E．J．Dijksterhuis)的名著《阿基米德》．其著作涉及的范圍很廣，也說明他對前人在數(shù)學中的一切發(fā)現(xiàn)具有淵博的知識．保存下來的阿基米德著作多半是幾何內(nèi)容的著作，也有一部分力學和計算問題的著作．主要是《論球與圓柱》(On the Sphere and Cylin der)，《論拋物線求積法》(On Quadrature of the Parabola)，《圓的度量》(Measurement of a Circle)，《論螺線》(OnSpirals)，《論平板的平衡》(On Plane Equilibriums)，《論錐型體與球型體》(On Conoids Spheroids)，《砂粒計算》(The Sand Reckoner)，《論方法》(On Method)(阿基米德給厄拉托塞的書信中，關于幾何學的某些定理)，《論浮體》(On Floating Bodies)，《引理》．在這些著作中的幾何方面，他補充了許多關于平面曲線圖形求積法和確定曲面所包圍體積方面的獨創(chuàng)研究．在這些研究中，他預見到了極微分割的概念，這個觀念在17世紀的數(shù)學中起到了重要作用，其本身就是微積分的先聲，但缺乏極限概念．阿基米德的求積法蘊育著積分思想的萌芽，利用這種方法，發(fā)現(xiàn)了定理阿基米德研究了曲線圖形求積的問題，并且用窮竭法建立了這樣的結果： 任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形(即拋物線)，下面是阿基米德的簡略證明，可以揭示他的研究方法．AQ1Q4是一拋物線弓形，拋物線頂點為A(如圖3．14)．Q1Q4交拋物線的軸于O點．Q1O和Q4O各在Q2和Q3處平分，作圖中所示的各線段就可完成圖形．現(xiàn)在，Q1O2＝4Q2O2＝4BC2，AO＝4AC，因此BQ2＝3AC．采用同樣方法重復把Q1Q2，Q2O平分就可證明(1)式的右方加上等．在這些線上不斷這樣做下去，就可證明拋物線弓形面積是這里△是指△AQ1O4．然而阿基米德沒有求極限的觀念，他是用歸謬法來證明他的結論的．這種證法的要點是，如果所求面積不等于給定的面積S，它就一定同時大于它又小于它．而這是不合理的，由此，推知拋物線弓形的面積等于阿基米德在《圓的度量》(Measurement of acircle)一文中，利用外切與內(nèi)接96邊形求得圓周率 ：史上最早給出的關于圓周率的誤差估計．在進行證明時，阿基米德避免了借助無窮小量這個概念，因為這個概念一直是希臘人所懷疑的．他考慮了內(nèi)接多邊形和外切多邊形．他確立這個基本原理的方法是說明并證明： 給定二不等量，則不論大量與小量之比如何接近1，都有可能：(1)求出兩條直線，使得較長的與較短的之比更小(大于1)；(2)作一圓或扇形的相似外切多邊形和內(nèi)接多邊形，使得外切多邊形的周長或面積，與內(nèi)接多邊形的周長或面積之比小于給定的比 ．然后就像歐幾里得所做過的那樣，他證明如果不斷把邊數(shù)加倍，最后會留下一些弓形，它們加起來比任何指定的面積都要?。⒒椎聦Υ俗隽艘稽c補充，即指出若把外切多邊形的邊數(shù)增加到足夠多，就能使多邊形的面積與圓的面積之差，小于任何給定的面積．阿基米德還研究了螺線，撰寫了《論螺線》一書，有人認為，從某種意義來說，這是阿基米德對數(shù)學的全部貢獻中最出色的部分．許多學者都在他的作螺線切線的方法中預見到了微積分方法．值得稱道的是，他用運動的觀點定義數(shù)學對象，如果一條射線繞其端點勻速旋轉，同時有一動點從端點開始沿射線作勻速運動，那么這個點就描出一條螺線．這種螺線后來稱為 阿基米德螺線 ．螺線有一個基本性質，把矢徑的長度和初始線從初始位置旋轉時所通過的角度聯(lián)系起來．此基本性質是以命題14出現(xiàn)的，現(xiàn)在都以r＝a 這個方程來表示之．阿基米德然后證明了，在第一個周轉和初始線之間所包圍的面積，亦即在矢徑O與2寫道： 我認為螺線和回到原處的直線所圍的面積，等于以該固定點作 有一直線在螺線的末端與螺線相切 并從固定端另作一直線垂直于旋轉一周后返回到原處的直線，以致與切線相遇，我認為這樣做成的與切線相遇的直線，就等于這個圓的圓周 ．此即為《論螺線》一書中命題24．阿基米德在《砂粒計算》(論數(shù)砂)著作中，設計出了一種表示大數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)，能表示超出當時希臘計數(shù)系統(tǒng)所能表示的數(shù)．在阿基米德之前，希臘人的計算擴大到不超過10000，并將10000叫做無數(shù)之多．阿基米德把無數(shù)之多當作一種新的單位，把無數(shù)之多引入計算，并且提出了更高位的單位．據(jù)說阿基米德向希臘數(shù)學家們提出過一個 群牛問題 ．實質上要從7個方程中，得出8個正整數(shù)解，最后歸結為一個二次不定方程x2－472949y2＝1，這個方程的解的位數(shù)相當大．《引理》(Liber Assumptorum)一書是阿基米德最早的著作，其中含有15個命題，例如：命題2，如果做正方形的外接圓與內(nèi)切圓，那么外接圓的面積等于內(nèi)切圓面積的兩倍．命題3，如果在圓內(nèi)作兩條相交成直角的弦，那么由交點分成的4條線段的平方和等于直徑的平方．在《論浮體》(on Floating Bodies)一文中，阿基米德首先給出了比重比流體小的物體、相同的物體、大的物體浮力的法則，這確實是一部具有時代意義的杰作．阿基米德在數(shù)學的創(chuàng)作中，運用了很多獨到的方法．尤其他根據(jù)力學的原理發(fā)現(xiàn)問題之法，被整理成《阿基米德方法》(The Method of Archimedes)．1906年海堡(J． L．Heiberg)在君士坦丁堡(Constantinople，現(xiàn)稱伊斯坦布爾(lstanbul)，土耳其最大城市)發(fā)現(xiàn)阿基米德寫給厄拉托塞(Eratosthenes，約公元前274---194年)的信以及阿基米德其他著作的傳抄本，記述了阿塞米德結合靜力學和流體力學研究大量的關于計算長度、面積、體積和重心等有關幾何問題．其要點是：體積是由面積構成，面積是由彼此平行的直線構成．每條直線都有重量，而且與它們的長度成正比．因而可以把問題歸結于使未知的幾何圖形與已知的幾何圖形相互平衡以求重心，其中利用杠桿原理確定拋物弓形面積，球和球冠面積，旋轉雙曲體體積就是例證．實際上，這是通往積分的較快的迂回之路．阿基米德信心百倍地預言： 一旦這種方法確立之后，有些人或者是我的同代人，或者是我的后繼者，就會利用這個方法又發(fā)現(xiàn)另外一些定理，而這些定理是我所預想不到的． 阿基米德為了能在數(shù)學中確立發(fā)現(xiàn)問題的方法，并給出了邏輯證明．阿基米德的預言，終于在近2000年之后，得以實現(xiàn)．18世紀，丹尼爾 伯努利(Da－niel Bernoulli)由物理知識推測到了三角級數(shù)形式的弦振動的微分方程的一般解．19世紀中葉黎曼(G．F．B．Riemann)由電學理論確定在每一個封閉的黎曼曲面上都存在著通常有解的代數(shù)函數(shù)．阿基米德作出的所有結論都是在沒有代數(shù)符號的情況下獲得的，使證明的過程頗為復雜，但他以驚人的獨創(chuàng)性，將熟練的計算技巧和嚴格的證明融為一體，并將抽象的理論與工程技術的具體應用緊密結合起來，將希臘數(shù)學推向一個新階段．由于阿基米德在科學研究中，注意在實踐中洞察事物的各種現(xiàn)象，并透過現(xiàn)象認清本質，然后通過嚴格的論證，使經(jīng)驗事實上升為系統(tǒng)的理論，因此，阿基米德在天文學、力學等方面也作出了重大貢獻．阿基米德一生酷愛天文學，但遺憾的是他關于天文學的著作沒有保留下來，根據(jù)希達克斯(Syntaxis)的記載，為了進行天文觀測，阿基比較精確的．并用儀器測量太陽的視角直徑等，據(jù)說阿基米德撰寫過《天文儀器的制作》(On the mak－ing of spheres)一書，現(xiàn)已失傳．總之，阿基米德的所有名著都以精確和嚴謹著稱．正如數(shù)學史家希思所說， 這些論著毫無例外地都是數(shù)學論文的紀念碑．解題計劃的逐步啟示，命題次序的巧妙排列，嚴格排除與目的沒有直接關聯(lián)的一切東西，對整體的潤飾---其完美性所給人的印象是如此之深，以致在讀者心中能產(chǎn)生一種近乎敬畏的感情 ．
解放軍文職招聘考試朱世杰及元代數(shù)學-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:29:09朱世杰及元代數(shù)學一、元初數(shù)學成就1．王恂的數(shù)學工作王恂(1235 1281)，元代數(shù)學家．字敬甫，唐縣(今屬河北)人．他 六歲就學，十三歲學九數(shù)，輒造其極 ．后從劉秉忠學，官至太史令．至元十七年(1280)與天文學家郭守敬(1231 1316)等共同編成《授時歷》，其中的數(shù)學工作主要是王恂作的．唐代張遂制訂歷法時，假定太陽作勻加速運動，所以使用二次內(nèi)插法．但實際上，太陽運行的加速度是不斷變化的．在《授時歷》中，王恂把太陽、月亮及五星的視行度當作時間的三次函數(shù)，采用三次內(nèi)插法來求函數(shù)值，收到更好效果．但確定天體位置需要使用赤道坐標和黃道坐標，王恂之前是直接通過天文觀測來確定這兩種坐標的．王恂首先注意到兩種坐標的數(shù)學關系，提出如下問題：已知太陽的 黃道積度 ，求 赤道積度 和 赤道內(nèi)外度 ．如圖8．16，設A為春分點，D為夏至點，其中d為直徑，BN OC，CP OE．只要測得黃道坐標，便可利用上述公式及其他有關知識推出相應的赤道坐標，從而使人們經(jīng)過較少的實測，得到較多的結果．2．趙友欽的割圓術趙友欽，元代天文學家、數(shù)學家．字子公，號緣督先生，鄱陽(今江西鄱陽)人，生卒年不詳．所著《革象新書》是一部天文數(shù)學著作．作圓內(nèi)接正方形，然后不斷倍增邊數(shù)，依次求得各內(nèi)接正多邊形邊長(圖8．17)． 置第十二次之小弦以第十二次之曲數(shù)一萬六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸徑之周圍也．周率近似值中最準確的一個．趙友欽說： 自一、二次求之以至一十二次，可謂極其精密．若節(jié)節(jié)求之，雖至千萬次，其數(shù)終不窮． 可見他不僅認識到圓內(nèi)接正多邊形的極限位置是圓，而且認識到極限是一個不可窮盡的過程，這種思想與現(xiàn)代極限觀念相當接近．趙友欽還進一步揭示了方、圓關系，說： 要之方為數(shù)之始，圓為數(shù)之終．圓始于方，方終于圓． 這種 曲直互通 的思想是很深刻的，他已認識到方可轉化為圓，而轉化的條件便是取極限．二、朱世杰生平朱世杰，元代數(shù)學家．字漢卿，號松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不詳．元統(tǒng)一中國后，朱世杰曾以數(shù)學家的身份周游各地二十余年，向他求學的人很多，他到廣陵(今揚州)時 踵門而學者云集 ．朱世杰全面繼承前人的數(shù)學成果，他吸收了高次方程的數(shù)值解法，又吸收了北方的天元術及南方的各種日用算法、數(shù)學口訣等，在此基礎上進行了創(chuàng)造性研究，寫成以總結和普及當時各方面數(shù)學知識為宗旨的《算學啟蒙》(三卷)和四元術的代表作《四元玉鑒》(三卷)，先后于1299年和1303年刊?。焓澜苁窃罱艹龅臄?shù)學家，清羅士琳(1774 1853)說他 兼包眾有，充類盡量，神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上． 《四元玉鑒》的成書則標志著宋元數(shù)學達到最高峰．美國科學史家薩頓(G．Sarton)稱贊該書 是中國數(shù)學著作中最重要的一部，也是中世紀的杰出數(shù)學著作之一．三、《算學啟蒙》《算學啟蒙》的內(nèi)容由淺入深，次第謹嚴，從一位數(shù)乘法開始，一直講到當時的最新數(shù)學成果 天元術，形成一個完整體系，內(nèi)容包括多位數(shù)乘法、分數(shù)四則運算、面積和體積計算、比例問題、垛積術、盈不足術、線性方程組、高次方程解法等．尤其引人注目的是，卷首 總括 中給出一整套數(shù)學概念及運算法則，作為全書的理論基礎．其中包括正負數(shù)乘法法則及倒數(shù)概念．朱世杰明確指出： 同名(號)相乘為正，異名相乘為負． 又指出： 平除長為小長，長除平為小平． 小長平相乘得一步為小積． 這便給出倒數(shù)的基本性質在《算學啟蒙》中，朱世杰借助輔助未知數(shù)解線性方程組，這在數(shù)學史上還是首次．例如卷下 方程正負門 第五題，依術列方程組如下(改用現(xiàn)代符號)：這種方法對于簡化運算程序是很有意義的，系數(shù)越復雜，設輔助未知數(shù)的方法就越有用．另外，書中把天元術廣泛用于各種面積和體積問題，導出許多高次方程，這說明天元術在李冶的基礎上有了進一步的發(fā)展．朱世杰還致力于算法研究，給出一些新的公式，如 開方釋鎖門 給出根式運算法則其中n，a，b為自然數(shù)，n 2．《算學啟蒙》為《四元玉鑒》提供了必要的預備知識，正如羅士琳所說，該書 似淺實深 ，與《四元玉鑒》 相為表里 ．四、《四元玉鑒》《四元玉鑒》的主要成就是四元術，即四元高次方程組的建立和求解方法．在他之前，已有李德載《兩儀群英集臻》討論二元術，劉大鑒《乾坤括囊》討論三元術．在此基礎上，朱世杰 演數(shù)有年，探三才之賾，索九章之隱，按天、地、人、物立成四元 (《四元玉鑒》后序)，創(chuàng)立了舉世聞名的四元術．朱世杰的天、地、人、物，相當于現(xiàn)在的x，y，z，u，其擺法如圖8 .18，例如方程-x2+3xy-2xz+x-y-z=0(卷下 三才變通 第1題)及2u4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下 四象朝元 第6題)分別擺成圖8.19和圖8.20的形狀．《四元玉鑒》共24門288問，所有問題都與方程或方程組有關．題目順序大體是先方程后方程組，先線性方程組后高次方程組．朱世杰創(chuàng)造了一套完整的消未知數(shù)方法，稱為四元消法．這種方法在世界上長期處于領先地位，直到18世紀，法國數(shù)學家貝祖(E.Bezoub,1730 1783)提出一般的高次方程組解法，才超過朱世杰．但朱世杰的消法要點僅見于書首 假令四草 ，其他各題均無草．書首還列有 今古開方會要之圖 、 四元自乘演段之圖 、 五和自乘演段之圖 和 五較自乘演段之圖 ，這些圖的作用也是統(tǒng)御全書．朱世杰說： 凡習四元者，以明理為務．必達乘除、升降、進退之理，乃盡性窮神之學也． 卷首各圖便是為 明理 而作，他說： 夫算中玄妙，無過演段．如積幽微，莫越認圖．其法奧妙，學者鮮能造其微．前明五和，次辨五較，自知優(yōu)劣也．《四元玉鑒》表明，朱世杰在方程領域取得重要成就．以前的方程都是有理方程，朱世杰則突破有理式的限制，開始討論無理方程．他不化為有理方程(見 左右逢源 第21題， 撥換截田 第18題， 四象朝元 第1題)．四元消法是朱世杰方程理論的核心．他通過方程組中不同方程的配合，依次消掉未知數(shù)，化四元式為一元式，即一元高次方程．三元式和四元式的消法稱為 剔而消之 ，即把全式剔分為二，進行相消．二元式的消法稱為 互隱通分相消 ．下面以二元三行式為例說明其消法．其中各系數(shù)是關于另一個未知數(shù)的多項式(可以是常數(shù))．欲消x2項，先以B2乘(1)式中x2項以外各項，再以A2乘(2)式中x2項以外各項，相減，得C1x＋C0＝0． (3)以x乘(3)，得C1x2＋C0x=0． (4)將(4)與(1)或(2)聯(lián)立，用同樣方法消去x2項，得D1x+D0＝0． (5)(3)與(5)聯(lián)立，便為二元二行式．朱世杰稱C1，D0為外二行，C0，D1為內(nèi)二行．內(nèi)二行乘積與外二行乘積相減，得C1D0-C0D1＝0．這便消去x，得到只含另一個未知數(shù)的一元方程了．《四元玉鑒》含二元問題36個，三元問題13個，四元問題7個．雖然用到四元術的題目不多，但它們卻代表了全書，也代表了當時世界范圍內(nèi)方程組理論的最高水平． 四象朝元 第6題所導出的十四次方程是中國古算史上次數(shù)最高的方程．高階等差級數(shù)理論是書中另一成就．沈括的隙積術開了研究高階等差級數(shù)的先河，楊輝給出包括隙積術在內(nèi)的一系列二階等差級數(shù)求和公式．朱世杰在這一領域作了總結性工作．在中卷 茭草形段 和下卷 果垛疊藏 中，他依次研究了一階至五階等差級數(shù)求和問題，不僅給出相應的公式，而且發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，掌握了如下的三角垛統(tǒng)一公式從而奠定了垛積術的理論基礎．實際上，等差級數(shù)是幾階的，便可把上式中的p換為幾．朱世杰給出了p＝1，2， ，5的特例．他還發(fā)現(xiàn)垛積術與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系，在 如象招數(shù) 第5題中利用垛積術導出四次內(nèi)插公式(四次差為一非零常數(shù)，五次差為零)：其中 1， 2， 3， 4分別為一次差、二次差、三次差、四次差．由于朱世杰正確指出了公式中各項系數(shù)恰好是一系列三角垛的積，他顯然能夠解決更高次的內(nèi)插問題，從而把中國古代的內(nèi)插法推向一個新水平．在幾何方面，朱世杰也有一定的貢獻．自《九章算術》以來，中國就有了平面幾何與立體幾何，但一直到北宋，幾何研究離不開勾股和面積、體積．李冶開始注意到圓城圖式中各元素的關系，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形．朱世杰在李冶思想的基礎上，深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關系，發(fā)現(xiàn)了平面幾何中的射影定理和特殊情形的弦冪定理．例如卷上 混積問元 第七題，如圖8．21，朱世杰得到公式易證等號左面等于h2，所以此式與射影定理h2＝ef等價．再如卷中 撥換截田 第十四題，如圖8．22，AB CD于E，朱世杰給出公式4CE ED＝AB2此式顯然是弦冪定理CE ED＝AE EB在兩弦垂直且有一弦為直徑時的特殊情形．五、宋元數(shù)學的外傳及衰落《算學啟蒙》出版后不久即傳到朝鮮和日本．在朝鮮李朝時期(14 16世紀)，《算學啟蒙》及《楊輝算法》都被作為朝廷選拔算官的基本書籍．兩書的朝鮮慶州府刻本(15世紀)一直保存至今．由于《算學啟蒙》在明代失傳，清羅士琳幸得朝鮮金始振翻刻本(1660)，于1839年在揚州重新出版，成為中國現(xiàn)存各版本的母本．《算學啟蒙》對日本的影響也很大，不少日本學者在研究此書的基礎上寫出專著，比較著名的有星野實宣《新編算學啟蒙注解》三卷(1672)、建部賢弘《算學啟蒙諺解大全》七卷(1690)等．宋元數(shù)學還曾傳到阿拉伯．13世紀旭烈兀①西征時，帶走了一批中國天文學家和數(shù)學家．他征服波斯后支持納西爾丁(Na－sirad－Din，1201 1274)在馬拉蓋(Maraghen，今伊朗境內(nèi))建立了一座規(guī)模宏大的天文臺，并把帶去的中國學者留在天文臺和納西爾丁一起工作，這是中國數(shù)學傳入阿拉伯國家的一個途徑．阿拉伯數(shù)學家卡西(al－kāshī，？ 1429)的《算術之鑰》(The Key of Arithmetic，1427)中有不少內(nèi)容與中國數(shù)學相同，如賈憲三角形、增乘開方法，以及和 百雞問題 極為類似的 百禽問題 等．他受到中國數(shù)學影響是可以肯定的，當然不排除其獨立取得成果的可能性．在元代，阿拉伯數(shù)碼曾傳入中國，但并未被中國人接受．歐幾里得《幾何原本》也傳到上都(今內(nèi)蒙古正藍旗)，可惜沒有譯成中文，所以影響不大，不久便散失了．朱世杰之后，元代數(shù)學便開始走下坡路．明代數(shù)學理論水平遠不及宋元，天元術、四元術成為絕學．直到明末清初，由于西方數(shù)學的傳入及中國學者的努力，數(shù)學才有所回升．那么，宋元數(shù)學衰落的原因是什么呢？首先，中國傳統(tǒng)數(shù)學是依靠算籌的，雖然這是一種很有用的計算工具，但具有不可避免的局限性，因為它只適于計算而不適于證明，只能表示具體的量而不能表示抽象的量．這就限制了人們的抽象思維，限制了數(shù)學一般化程度的提高．宋元方程理論可以由天元術發(fā)展為四元術，但在籌算體系內(nèi)卻無法建立五元術或n元術，因為四個未知數(shù)已把 太 的上下左右占滿．這個例子便說明了算籌的局限性．更重要的是，人們無法利用算籌進行邏輯推理，也很難在籌算體系內(nèi)發(fā)展數(shù)學符號．但這些消極因素的總和，充其量是使數(shù)學停滯不前．而事實上，元末數(shù)學不僅沒前進，反而后退．造成這種狀況的原因就不在數(shù)學內(nèi)部，而在于社會了．當時的政策是不利于科學發(fā)展的，尤其是八股取士制．1314年恢復科舉考試后，內(nèi)容以朱熹集注的《四書》為主，將數(shù)學內(nèi)容完全取消．不久，這種考試發(fā)展為 以四書五經(jīng)命題、八股文取士 的制度，引導知識分子遠離自然科學，嚴重束縛了讀書人的思想．知識分子們?yōu)榱斯γ?，紛紛埋頭于《四書五經(jīng)》，只會在儒家經(jīng)典中尋章摘句，奢談三綱五常之類的封建倫理，哪里還顧得上數(shù)學及其他有實用價值的科學技術呢？正如元末丁巨所說： 時尚浮辭，動言大綱 士類以科舉故，未暇篤實． 八股取士制的危害，在明代愈演愈烈，顧炎武曾痛斥說： 開科取士，則天下之人日愚一日． 元末以后的社會思潮也不利于數(shù)學發(fā)展，成為官方哲學的理學完全摒棄了自然科學．理學家們大談天理、人倫，認為科學技術乃雕蟲小技，為君子所不齒，甚至譏笑研究數(shù)學的人是 玩物喪志 ．在這種社會環(huán)境中，數(shù)學由盛而衰就不奇怪了．
